Égalité

Apprentissage professionnel en mathématiques à l'élémentaire
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Webinaire d'introduction

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Webinaire

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Éléments clés de la compréhension

Citation

Le National Council of Teachers of Mathematics déclare : « Pour bien comprendre le concept de l’égalité, l’une des premières choses que les élèves doivent assimiler est le fait que l’égalité est une relation, pas une opération. » (Traduction libre, 2000–2007).

 

http://www.learnalberta.ca/content/mepg7/html/pg7_preservationofequality/step1.html

Qu'est-ce que l'égalité?

L’égalité en mathématiques fait référence à une relation entre des objets pouvant être représentés par un nombre. Ces ensembles contiennent la même quantité d’objets, représentés par des nombres (entiers ou rationnels) ou par des unités de poids, de longueur, de surface, de volume.

 

Égal ne veut pas seulement dire similaire, mais similaire en quantité.

Égalité

 

Mise en garde contre la métaphore de la « balance » :

La balance, qui mesure la masse, est une métaphore très souvent utilisée lors de l’enseignement de l’égalité. Cependant, l’égalité va au-delà du concept de la balance. Nous devons utiliser divers modèles et/ou métaphores afin de prouver que d’autres attributs de l’égalité sont mesurables. Lorsque nous mentionnons la métaphore de la balance, nous voulons être certains que les élèves comprennent que nous utilisons l’expression être en équilibre comme un adjectif pour décrire l’état d’égalité, plutôt que comme un verbe (équilibrer).

Pourquoi l’égalité est-elle importante ?

ApprendreLes notions d’égalité et d’inégalité sont à la base de tout ce que nous faisons en math. Nous les utilisons lorsque nous faisons des exercices avec des droites numériques, lorsque nous comparons, classons et déterminons la magnitude et lorsque nous développons une compréhension des propriétés commutatives, associatives et distributives. La notion d’égalité est importante, car les enfants ne voient pas que l’égalité se rapporte au nombre d’objets et non aux attributs physiques tels que la taille, la masse, etc.

Selon le Programme d’études de mathématiques de l’Alberta de la maternelle à la 9e année (2014), le changement et les relations sont deux des éléments qui définissent la nature des mathématiques.

 

Le CHANGEMENT

Il est important que les élèves se rendent compte que les mathématiques sont en état d’évolution constante et ne sont pas statiques. Ainsi, le fait de reconnaître le changement constitue un élément clé de la compréhension et de l’apprentissage des mathématiques.

 

LES RELATIONS

Les mathématiques sont un outil pour exprimer des faits naturels étroitement liés dans une perception globale du monde. Les mathématiques sont utilisées pour décrire et expliquer des relations. La recherche de relations au sein des nombres, des ensembles, des figures et des objets fait partie de l’étude des mathématiques. Cette recherche de relations possibles nécessite la collection et l’analyse de données numériques ainsi que la description de relations, de façon imagée, symbolique, orale ou écrite.

En français, page 8 : https://education.alberta.ca/media/8770207/mathm-9.pdf

En anglais, page 8 :  https://education.alberta.ca/media/8775377/k_to_9_math_pos.pdf

 

Programme d’études de mathématiques de l’Alberta de la maternelle à la 9e année, Alberta Education, 2014


 

Pourquoi commencer par l’égalité ?

Il est important que les élèves comprennent d’abord les relations entre les nombres avant qu’on leur demande d’effectuer des opérations. Les opérations constituent un outil de réflexion et de communication pour nous aider à déterminer et prouver l’égalité et l’inégalité. Le signe égal découle naturellement d’un besoin de présenter de façon formelle qu’il y a égalité.

Connaissances de base des enseignants

Que dois-je savoir en tant qu’enseignant afin d’être capable d’enseigner le(s) concept(s) ?

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Vocabulaire

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Liens avec le programme d'études

Maternelle

N2 Subitizer (reconnaitre du premier coup d’oeil) des arrangements familiers de 1 à 5 objets (ou points) et les nommer. [C, CE, L, V]
N5

Comparer des quantités de 1 à 10 par correspondance biunivoque. [C, L, V]

Première année

N4 Représenter et décrire des nombres jusqu’à 20, de façon concrète, imagée et symbolique. [C, L, V]
N5

Comparer des ensembles comportant jusqu’à 20 éléments pour résoudre des problèmes en utilisant :

• les référents;

• la correspondance biunivoque.

[C, CE, L, R, RP, V]

N7

Démontrer une compréhension de la conservation du nombre. [C, R, V]
P/R 4 Décrire l’égalité comme un équilibre, et l’inégalité comme un déséquilibre, de façon concrète et imagée (0 à 20). [C, L, R, V]
P/R 5

Noter des égalités en utilisant le symbole d’égalité. [C, L, RP, V]

Deuxième année

N5

Comparer et ordonner des nombres jusqu’à 100. [C, CE, L, R, V]

P/R4

Démontrer et expliquer la signification de l’égalité et de l’inégalité de façon concrète et imagée. [C, L, R, V]

P/R5

Noter des égalités et des inégalités symboliquement en utilisant les symboles d’égalité et d’inégalité. [C, L, R, V]

Troisième année

N3

Comparer et ordonner des nombres jusqu’à 1 000. [C, L, R, V]

N13

Démontrer une compréhension des fractions en :

• expliquant qu’une fraction représente une partie d’un tout;

• décrivant des situations dans lesquelles on utilise des fractions;

• comparant des fractions d’un même tout ayant un dénominateur commun.

[C, CE, L, R, V]

P/R4

Résoudre des équations d’addition et de soustraction à une étape dans lesquelles la valeur inconnue est représentée par un symbole. [C, L, R, RP, V]

Quatrième année

N2 Comparer et ordonner des nombres jusqu’à 10 000. [C, L, V]
N6

Démontrer une compréhension de la multiplication (de 2 ou 3 chiffres par 1 chiffre) pour résoudre des problèmes en :

• appliquant la propriété de la distributivité de la multiplication.

[C, CE, L, R, RP, V]

N8

Démontrer une compréhension des fractions inférieures ou égales à 1 en utilisant des représentations concrètes, imagées et symboliques pour :

• comparer et ordonner des fractions;

• modéliser et expliquer que, pour différents touts, il est possible que deux fractions identiques ne représentent pas la même quantité;

 [C, L, R, RP, V]

N10 Établir un lien entre des nombres décimaux et des fractions, ainsi qu’entre des fractions et des nombres décimaux (jusqu’aux centièmes). [C, L, R, V]

Cinquième année

N4

Appliquer des stratégies de calcul mental pour la multiplication, telles que :

• se servir de la distributivité.

[C, CE, L, R, V]

N7

Démontrer une compréhension des fractions à l’aide de représentations concrètes, imagées et symboliques pour :

• créer des ensembles de fractions équivalentes;

• comparer des fractions ayant un dénominateur commun ou des dénominateurs différents.

[C, L, R, RP, V]

N9 Établir un lien entre des nombres décimaux et des fractions, ainsi qu’entre des fractions et des nombres décimaux (jusqu’aux millièmes). [L, R, V]
N10

Comparer et ordonner des nombres décimaux allant jusqu’aux millièmes à l’aide de :

• points de repère;

• nombres décimaux équivalents.

[C, L, R, V]

Sixième année

N4 Établir un lien entre des fractions impropres et des nombres fractionnaires, ainsi qu’entre des nombres fractionnaires et des fractions impropres. [CE, L, R, V]
N5 Démontrer une compréhension du rapport, de façon concrète, imagée et symbolique. [C, L, R, RP, V]
P/R5

Démontrer et expliquer la signification de maintien de l’égalité, de façon concrète et imagée. [C, L, R, RP, V]

 


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Preuves de la compréhension de l'apprenant

Quel niveau de compréhension vos élèves ont-ils de l’égalité ? Utilisez les « Grandes idées sur l’égalité » pour guider votre enseignement. Des exemples de preuves sont donnés pour chaque grande idée pour vous guider lorsque vous évaluerez le niveau de compréhension de vos élèves.
 
Grande idée sur l’égalité Qu’est-ce que cela peut signifier?  
Qu’est-ce qui peut être une preuve de compréhension?
Les élèves peuvent apparier des quantités sans compter. Au début du primaire, les élèves sont censés subitizer les quantités de 2, 3 et 5. Dans les classes avancées du primaire, les élèves doivent voir l’équivalence avec les fractions et les décimales de façon automatique. Les élèves apparient de petits ensembles. Ils peuvent les apparier physiquement un à un. Ils peuvent apparier des objets deux par deux. Ils peuvent simplement regarder et trouver la réponse.

La quantité a été appariée correctement. Les élèves n’ont pas besoin de compter ou de prouver en comptant. Ils doivent simplement être d’accord sur le fait qu’il y a égalité, car les quantités sont semblables.

Attributs des objets

L’élève est capable d’expliquer pourquoi les ensembles dont les objets ont été appariés ont le même nombre : correspondance biunivoque, reconnaissance automatique de partie ou de tout ou des deux (subitizer, relations partie-tout), préservation de la quantité. Apparier la régularité ou la disposition.

Les élèves doivent expliquer pourquoi ces ensembles sont égaux.

Exemples :

Je les ai alignés et ils s’apparient, il y en a un pour chacun.

J’ai compté et ils ont la même quantité d’objets.

J’ai vu qu’ils recouvraient la même surface.

Ils sont disposés de la même façon.

Ils sont de la même longueur.

Je les ai déplacés dans ma tête, ils sont semblables.

Démontrer une stratégie, décrire une stratégie, créer une équation et schématiser la stratégie (droites numériques, ficelles, pliage, couvrir des surfaces égales).

Ils peuvent aller l’un sur l’autre.

Ils s’alignent.

Ils remplissent le même contenant jusqu’au même point.

Ils atteignent la même position sur la droite numérique.

Stratégie « faire dix » sur des grilles de dix.

Exemples :

  • 7 + 8 = 5 + 2 + 8 = 5 + 10
  • 15 est pareil à 10 + 5; 8 + 7; 9 + 6; 2 + 13
  • 37 est pareil à 20 + 17; 30 + 7; 35 + 4
  • 457 + 243 est pareil à 460 + 240

Les élèves reconnaissent que modifier la disposition ne change pas l’équivalence.

L’égalité est établie. Les élèves sont d’accord.

On change la disposition des éléments des deux côtés, on les déplace, on les change de côté ou on les remplace, mais si la quantité ne change pas, l’égalité est préservée.

Ces ensembles sont-ils égaux ? Montrez une image, une équation, une expression.

Le signe égal a-t-il sa place ici ?

Que dois-je faire pour que ce soit « équilibré » ?

Voici une égalité, développez et expliquez pourquoi elle est vraie ou « équilibrée ». Modifiez-la, mais faites en sorte qu’elle reste équilibrée.

7   =     5 non,  ajoutez 2 ou soustrayez 2 ou déplacez un élément

3 + 4 = 7 oui,  on peut modifier les deux côtés et l’égalité sera toujours préservée comme dans 4 + 3 = 2 + 5,  7 = 3 + 4, etc.

Les élèves reconnaissent qu’un nombre peut être un attribut utilisé pour trier des ensembles.

Exemples :

Ils vont ensemble, car ils ont chacun le chiffre 5.

Ils vont ensemble, car ce sont tous des moyens de faire 6.

Ils sont tous égaux à ½.

Ce sont tous des moyens de faire 1.

Fractions équivalentes, surfaces équivalentes et volumes équivalents.

Les élèves identifient une égalité lorsqu’il y a le même nombre de choses.

Les élèves remplacent ces objets par des nombres, puis manipulent ces nombres avec assurance.

Ces équations sont acceptables en termes d’égalité :

  • 5 = 5 (il n’y a pas besoin de signe d’opération)
  • 2 + 3 = 5
  • 5 = 2 + 3
  • 2 + 3 = 3 + 2
  • 1 + 4 = 2 + 3

L’élève identifie les ensembles qui sont égaux et peut expliquer pourquoi : ils contiennent la même quantité (on arrive à cette conclusion juste en comptant), ou ils partagent une mesure commune comme un poids égal, une longueur égale, une capacité ou un volume égal.

 

L’élève crée une égalité pour l’apparier à une équation donnée.

 

L’élève identifie les ensembles qui ne sont pas égaux en expliquant pourquoi.

Les élèves restent attachés aux attributs. Les objets utilisés n’influencent pas la réflexion. Ce sont deux ensembles de 8 même si un ensemble a une couleur différente ou contient un objet différent.

J’ai utilisé des ours et des maisons, mais 5 reste cinq.

La moitié d’une barre chocolatée et la moitié d’un éléphant. Les deux représentent des moitiés… ne laissez pas l’objet s’interposer.

75 % représente trois quarts de quelque chose, qu’importe ce quelque chose…

La difficulté ici est que, lorsqu’il n’est question que de nombres, les objets peuvent s’interposer. Lorsque nous mesurons le poids ou la longueur comme dans 3 cm ou 5 g, l’image est plus claire pour beaucoup d’entre nous.

Les tiers peuvent se diviser en sixièmes, donc deux tiers sont à présent égaux à quatre sixièmes.

Les élèves identifient une égalité lorsqu’il y a le même nombre de choses.

Les élèves remplacent les objets par des nombres, puis ils manipulent ces nombres avec assurance.

Ils reconnaissent que lorsque deux ensembles (collections) contiennent la même quantité, ils sont égaux ou équilibrés, quelle que soit la disposition ou la composition, la couleur, la forme de la collection ou de l’ensemble.

L’élève utilise correctement un vocabulaire adéquat : égal, pas égal, plus, moins, équivalent, commutatif, égalité, inégalité, signe égal, supérieur à, inférieur à, même quantité.

L’élève note l’énoncé approprié d’égalité ou d’inégalité.

N’incluez pas de symboles sans raison. Les symboles « plus grand que », « plus petit que » peuvent porter à confusion si les élèves n’ont pas assez d’expérience avec les contextes et les contenus.

Le signe égal signifie toujours qu’il y a une égalité…

La convention que nous suivons : un seul signe égal par équation, mais il peut y avoir des exceptions lorsqu’il y a une série d’équivalences.

3 + 7 = 8 + 2 = 10 est vraie avec les deux signes égal.

3 + 7 = 10 + 4 = 14 est fausse.

6 = 2 + 4 est aussi valable que 2 + 4 = 6 (Vous n’avez pas à inverser les côtés).

(Selon les enseignants, cela peut porter à confusion et les élèves peuvent être désorientés lorsqu’il y a des équations qui contiennent des soustractions. La soustraction est un problème lorsque nous nous focalisons seulement sur l’écriture des équations. Lorsque nous créons une soustraction, expliquons et relions l’écriture des équations aux explications, il n’y a aucun problème.

Il existe le même problème pour la division lorsque nous ne nous focalisons que sur l’écriture des équations).

Expression 3 + 4 (l’élève peut voir cela dans une collection de points)

Expression 30 + 5 (l’élève peut voir cela dans une grille de 100)

Expression 5 + ? (l’élève peut créer cela alors qu’il interprète un problème)

Expression 6b (en 5e année, nous commençons à étudier les coefficients)

Équation :

6 = 4 + 2 ou 4 + 2 = 6

7 = 9 – 2 ou  9 – 2 = 7

3+5=5+3

8+2 = 7+3

6x4=4x6

6x4=24  ou 24=6x4

24 ÷ 4 = 6   ou 6 = 24÷ 4

4 + ? = 10  10 – 4 = ?

y = 2x + 1   y+5 = x + 2  

Ce sont des équations acceptables en termes d’égalité :

  • 5 = 5  (il n’y a pas besoin de signe d’opération)
  • 2 + 3 = 5
  • 5 = 2 + 3
  • 2 + 3 = 3 + 2
  • 1 + 4 = 2 + 3

L’élève identifie les ensembles qui sont égaux et peut expliquer pourquoi : ils contiennent la même quantité ou partagent une mesure commune comme un poids égal, une longueur égale, une capacité ou un volume égal.

L’élève crée une égalité pour l’apparier à une équation donnée.

L’élève identifie les ensembles qui ne sont pas égaux et explique pourquoi.

L’élève accepte et applique le terme « égal » à des comparaisons quantifiables telles que des poids, des distances, des temps, des surfaces, des volumes égaux, etc.

En 3e année, nous commençons à présenter les unités de mesure.

Les unités de mesure sont reliées. 10 mm = 1 cm 100 cm = 1 m

Les unités de valeur de position sont équivalentes :

10 dix = 100

10 cents = 1000

Les unités fractionnaires et les unités de fraction décimale sont intégrées.

Les tiers font partie des sixièmes.

Les centièmes font partie des dixièmes.

Les élèves doivent reconnaître que changer les unités ne change pas la valeur de la mesure.

Ex.: On peut convertir 1 km en 1000 m sans pour autant changer la mesure.
L’élève est capable de préserver l’égalité entre deux ensembles (les élèves reconnaissent que l’égalité est une relation qui peut être préservée). Les élèves reconnaissent que l’on peut préserver l’égalité en ajoutant ou en soustrayant le même nombre aux deux côtés et en multipliant ou en divisant les deux côtés par la même quantité.

Les élèves identifient une égalité lorsqu’il y a le même nombre de choses.

Les élèves remplacent les objets par des nombres, puis manipulent ces nombres avec assurance.
L’élève est capable de transformer une égalité en une autre égalité équivalente pour l’addition et la multiplication

Liping Ma « Changer un côté ou les deux côtés d’un signe égal pour certaines raisons tout en préservant la relation « égale » est le secret des opérations mathématiques. »

 

Les élèves peuvent appliquer les grandes idées sur l’égalité pour faciliter l’apprentissage des faits de base.

 
Les élèves démontrent de la flexibilité au niveau du sens du nombre.

Matrices pour la multiplication :

8 x 3 = 3 x 8  (commutativité)

3 x 8 = (1 x 8) + (2 x 8) (décomposition) (distributivité)

3 x 8 = 6 x 4 (double et moitié)

Si  5 + 5 = 10 alors 6 + 4 = 10 (modifier la disposition ne change pas l’équivalence)

Si  5 + 5 = 10 alors 5 + 6 = 11 (préservation de l’égalité)

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La recherche à l'appui

Ce que les chercheurs disent sur l'égalité :
 
La liste d’articles et/ou de recherches sur la pensée multiplicative qui suit vous est offerte à titre de suggestion.  Certains sont en anglais, certains sont en français.  Nous espérons que cette liste vous sera utile afin de poursuivre votre perfectionnement professionnel sur le sujet.  Bonne lecture.

Recherche

 


1.  Les élèves à l’école élémentaire perçoivent souvent le signe égal (=) comme un symbole d’opération (c.à.d. ils doivent faire quelque chose ou écrire une réponse) même si le signe égal doit être perçu comme un symbole de relation. (Sherman & Bisanz, 2009). Les élèves doivent percevoir le signe égal comme un signe de relation, indiquant qu’une relation existe entre les nombres ou les expressions de chaque côté du signe égal (Jacobs, Franke, Carpenter, Levi, & Battey, 2007). Le nombre ou l’expression d’ un côté du signe égal doit avoir la même valeur que le nombre ou l’expression de l’autre côté du signe égal. Si le signe égal est interprété de manière opérationnelle, cela mène habituellement à des erreurs lors de la résolution d’équations avec des nombres manquants (par ex., 5 − ___ = 1) et à des difficultés avec la pensée algébrique (par ex., x − 2 = 2y + 4; Lindvall & Ibarra, 1980; McNeil & Alibali, 2005b). Cependant, les recherches ont démontré que le dialogue continu en salle de classe (par ex., Blanton & Kaput, 2005; Saenz-Ludlow & Walgamuth, 1998) ou un enseignement explicite (McNeil & Alibali, 2005b; Powell & Fuchs, 2010; Rittle-Johnson & Alibali, 1999) peuvent rectifier les interprétations incorrectes du signe égal faites par les élèves.

 
Cette idée fausse, selon les chercheurs de l’université Texas A & M, peut entraver la réussite en mathématiques de l’élève.  Selon leurs recherches, les élèves qui font preuve d’une bonne compréhension du signe égal réussissent mieux en mathématiques et persistent dans des domaines où des compétences en mathématiques sont requises, tels que l’ingénierie (Capraro & Capraro 2010).
 
2. ENSEIGNER LE CALCUL SANS PORTER ATTENTION À LA PENSÉE RELATIONNELLE ET ALGÉBRIQUE BLOQUE LES PROGRÈS ULTÉRIEURS DES ÉLÈVES. Les élèves doivent voir les mathématiques  comme une recherche de régularités, de structures, de relations, comme un processus pour créer et tester des idées et en général, pour comprendre les situations quantitatives et spatiales (Schoenfild, 2008).
 

Recherche

3. « Changer un côté ou les deux côtés d’un signe égal pour certaines raisons tout en préservant la relation « égale » est le secret des opérations mathématiques. » (Traduction libre, Liping Ma)
 

4. L’équivalence obéit à trois propriétés :

a.     la réflexivité, la relation relie une chose à elle-même, A est relié à A ;

b.    la symétrie, si A est relié à B, alors la direction opposée est aussi correcte, c.à.d. B est relié à A ; et

c.     la transitivité, si A est relié à B et que B est relié à C, alors A est relié à C.

    • La relation d’équivalence la plus utilisée en mathématiques est « est égal à ».
    • En ce qui concerne les propriétés d’équivalence, la transitivité (propriétés c. ci-dessus) semble être bien comprise, la symétrie (propriété b. ci-dessus) raisonnablement comprise et la réflexivité (propriété a. ci-dessus) semble ne pas être reconnue.
    • Les relations d’égalité étaient généralement perçues en termes d’équilibre et les élèves savaient très bien comment équilibrer des relations.
    • La transformation d’égalité était moins courante et les élèves plus âgés semblaient incapables d’interpréter des exemples tels que x + 3 = 5 en termes de changement et de changement inverse, même lorsqu’on leur montrait un exemple en détails.
    • Les chercheurs n’ont trouvé AUCUNE PREUVE en ce qui concerne la reconnaissance de la réflexivité. (Cooper, Rixon, Burnett)

Pour en savoir davantage :

Powell, S. R. (2012). EQUATIONS AND THE EQUAL SIGN IN ELEMENTARY MATHEMATICS TEXTBOOKS. The Elementary School Journal, 112(4), 627–648.



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Évaluation rapide

Egalite Evaluation rapide

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Les activités suivantes font parties du webinaire provincial sur la égalité.  On vous suggère de choisir une ou plusieurs de ces activités et de les administrer à vos élèves.  Vous pourrez alors attester des succès de vos élèves.  Est-ce qu’ils ont une compréhension opérationnelle ou relationnelle de l’égalité?

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Ressources

Les décisions relatives à la programmation et à la sélection du matériel d’apprentissage relèvent des autorités scolaires, des écoles, des enseignants et des élèves. L’utilisation de ressources autorisées n’est pas obligatoire. Un large éventail de matériel d’apprentissage peut être utilisé pour répondre le mieux aux besoins de chaque élève.

Cette section a pour but de fournir d’une variété de ressources classées par année et résultat d’apprentissage rélié au concept d’égalité.

Ces ressources sont offertes à titre de suggestion seulement et ont pour but de servir de complément à ce que vous utilisez déjà.  Nous espérons que celles-i vous seront utiles


Plusieurs de ces ressources sont disponibles dans LearnAlberta.ca.  Dans certains cas, il sera nécessaire d’être connecté afin d’y avoir accès.  Vous aurez besoin de votre nom d’utilisateur et mot de passe d’école.  Certaines de ces ressources sont des activités virtuelles dont l’interface est en anglais. Toutefois, les activités d’apprentissage peuvent être menées en français.

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Maternelle : le nombre

2. Subitizer (reconnaitre du premier coup d’oeil) des arrangements familiers de 1 à 5 objets (ou points) et les nommer. [C, CE, L, V]

4. Représenter et décrire des nombres de 2 à 10, de façon concrète et imagée. [C, CE, L, R, V]

5. Comparer des quantités de 1 à 10 par correspondance biunivoque. [C, L, V]

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Première année : le nombre

2. Subitizer (reconnaitre du premier coup d’oeil) des arrangements familiers de 1 à 10 objets (ou points) et les nommer. [C, CE, L, V]

4. Représenter et décrire des nombres jusqu’à 20, de façon concrète, imagée et symbolique. [C, L, V]

5. Comparer des ensembles comportant jusqu’à 20 éléments pour résoudre des problèmes en utilisant :

• les référents;

• la correspondance biunivoque.

[C, CE, L, R, RP, V]

7. Démontrer une compréhension de la conservation du nombre. [C, R, V]

9. Démontrer une compréhension de l’addition de nombres dont les solutions ne dépassent pas 20 et les faits de soustraction correspondants, de façon concrète, imagée et symbolique en :

• utilisant le langage courant et celui des mathématiques pour décrire des opérations d’addition et de soustraction;

• créant et en résolvant des problèmes contextualisés qui comportent des additions et des soustractions;

• modélisant des additions et des soustractions à l’aide d’objets et d’images, puis en notant le processus de façon symbolique.

[C, CE, L, R, RP, V]

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Première année : les régularités et les relations (les variables et les équations)

4. Décrire l’égalité comme un équilibre, et l’inégalité comme un déséquilibre, de façon concrète et imagée (0 à 20). [C, L, R, V]

5. Noter des égalités en utilisant le symbole d’égalité. [C, L, RP, V]

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Deuxième année : le nombre

5. Comparer et ordonner des nombres jusqu’à 100. [C, CE, L, R, V]

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Deuxième année : les régularités et les relations (les variables et les équations)

4. Démontrer et expliquer la signification de l’égalité et de l’inégalité de façon concrète et imagée. [C, L, R, V]

5. Noter des égalités et des inégalités symboliquement en utilisant les symboles d’égalité et d’inégalité. [C, L, R, V]

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Troisième année : le nombre

3. Comparer et ordonner des nombres jusqu’à 1 000. [C, L, R, V]

13. Démontrer une compréhension des fractions en :

• expliquant qu’une fraction représente une partie d’un tout;

• décrivant des situations dans lesquelles on utilise des fractions;

• comparant des fractions d’un même tout ayant un dénominateur commun.

[C, CE, L, R, V]

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Quatrième année : le nombre

2. Comparer et ordonner des nombres jusqu’à 10 000. [C, L, V]

6. Démontrer une compréhension de la multiplication (de 2 ou 3 chiffres par 1 chiffre) pour résoudre des problèmes en :

• utilisant des stratégies personnelles de multiplication avec et sans l’aide de matériel de manipulation;

• utilisant des matrices pour représenter des multiplications;

• établissant un lien entre des représentations concrètes et des représentations symboliques;

• estimant des produits;

appliquant la propriété de la distributivité de la multiplication.

[C, CE, L, R, RP, V]

8. Démontrer une compréhension des fractions inférieures ou égales à 1 en utilisant des représentations concrètes, imagées et symboliques pour :

• nommer et noter des fractions pour les parties d’un tout ou d’un ensemble;

• comparer et ordonner des fractions;

• modéliser et expliquer que, pour différents touts, il est possible que deux fractions identiques ne représentent pas la même quantité;

• fournir des exemples de situations dans lesquelles on utilise des fractions.

[C, L, R, RP, V]

10. Établir un lien entre des nombres décimaux et des fractions, ainsi qu’entre des fractions et des nombres décimaux (jusqu’aux centièmes). [C, L, R, V]

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Cinquième année : le nombre

4. Appliquer des stratégies de calcul mental pour la multiplication, telles que :

• annexer puis ajouter des zéros;

• utiliser la notion du double ou de la moitié;

se servir de la distributivité.

[C, CE, L, R, V]

7. Démontrer une compréhension des fractions à l’aide de représentations concrètes, imagées et symboliques pour :

• créer des ensembles de fractions équivalentes;

• comparer des fractions ayant un dénominateur commun ou des dénominateurs différents.

[C, L, R, RP, V]

9. Établir un lien entre des nombres décimaux et des fractions, ainsi qu’entre des fractions et des nombres décimaux (jusqu’aux millièmes). [L, R, V]

10. Comparer et ordonner des nombres décimaux allant jusqu’aux millièmes à l’aide de :

points de repère;

• la valeur de position;

nombres décimaux équivalents.

[C, L, R, V]

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Sixième année : le nombre

4. Établir un lien entre des fractions impropres et des nombres fractionnaires, ainsi qu’entre des nombres fractionnaires et des fractions impropres. [CE, L, R, V]

5. Démontrer une compréhension du rapport, de façon concrète, imagée et symbolique. [C, L, R, RP, V]

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Sixième année : les régularités et les relations (les variables et les équations)

5. Démontrer et expliquer la signification de maintien de l’égalité, de façon concrète et imagée. [C, L, R, RP, V]

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Communication avec les parents

Suggestions pour utiliser les informations suivantes :

Les informations ci-dessous peuvent être présentées de plusieurs façons.

  • Des parties peuvent être incluses dans les bulletins d’information mensuels de l’école destinés aux parents.

  • Des éléments peuvent être discutés lors des entrevues parents-enseignants.

  • Des idées peuvent être utilisées lors des soirées d’information pour les parents

Grandes idées

Qu’est-ce que l’égalité ?Lecture

  • L’égalité est le fait d’avoir un nombre égal d’éléments dans deux groupes

Pourquoi est-ce important ?  Les enfants doivent bien maîtriser la notion d’égalité. Cela leur permet de :

  • comparer des quantités et décider si un groupe a plus d’éléments, moins d’éléments ou un nombre égal d’éléments.  

  • passer de l’arithmétique à l’algèbre.

Activités

Voici des activités simples que vous pouvez faire avec votre enfant.

Activité 1 :

  • Placez quelques jouets devant votre enfant. Demandez-lui combien il y en a. Réarrangez les objets sans en ajouter ou en enlever. Demandez-lui combien il y a de jouets.

Pourquoi faire cette activité? Cela l’aide à voir que la quantité ne change pas si vous déplacez les jouets.

    • Divisez les jouets en deux tas l’un à côté de l’autre. Est-ce que la quantité a changé lorsque je regarde tous les jouets devant moi ? Non. Sept jouets divisés en un tas de deux et un tas de cinq restent toujours sept jouets.

    • Remplacez l’un de vos jouets par un jouet différent. La quantité a-t-elle changé ? Non. Si j’avais sept jouets au départ et que je remplace l’un de ces jouets par un autre, j’ai toujours sept jouets.

    • Répétez l’expérience avec d’autres objets.

    • NOTE : les élèves doivent voir que le fait de déplacer les objets (sans en ajouter ou en enlever) ne change pas leur quantité. Quatre objets que l’on déplace seront toujours quatre objets.

Activité 2 :
  • Donnez à votre enfant quelques jouets. Prenez le même nombre de jouets. Demandez si les groupes sont égaux.  

  • Réarrangez les jouets de votre groupe. Demandez si les groupes sont égaux.

  • Réarrangez les jouets de l’enfant.  Demandez si les groupes sont égaux.

  • Divisez votre tas en deux petits tas. (Par exemple, vous avez tous les deux sept jouets. Vous divisez vos jouets en un tas de trois et un tas de quatre).

Indiquez chacun vos tas. Dites-lui que vous avez un tas de trois et un tas de quatre. Avez-vous le même nombre de jouets que votre enfant ?

Demandez-lui « Est-ce qu’un tas de trois et un tas de quatre sont pareils à un tas de sept ? »

Rassemblez vos deux tas en un grand tas. Demandez-lui de diviser son tas en deux tas et posez la question à nouveau.

    • Vous divisez tous les deux votre gros tas en deux tas et vous comparez.

    • Répétez l’expérience avec d’autres objets.

    • Répétez l’expérience avec d’autres objets, mais faites en sorte que votre tas soit légèrement différent de celui de votre enfant. Exemples :

      • Vous avez des Cheerios. Votre enfant a des Fruit Loops.

      • Vous avez des pommes. Votre enfant a des oranges.

      • Vous avez des barres chocolatées. Votre enfant a des raisins.

    • NOTE : Une des idées fausses les plus courantes chez les enfants est de croire que la réponse se trouve après le signe égal. (comme dans 4 + 3 = 7) Développez sa compréhension de la notion d’égalité en changeant la disposition de façon à ce que la « réponse » se trouve avant le signe égal (Exemple: 7 = 4 + 3).
Activité 3 : Passer à l’abstrait
    • Écrivez l’un des problèmes que vous venez de faire. Par exemple: un tas de trois jouets et un tas de quatre jouets sont pareils à un tas de sept jouets.

    • Plaignez-vous du fait que c’est long à écrire.

    • Écrivez le chiffre 3 en-dessous de « un tas de trois jouets » et demandez si c’est logique.

    • Demandez à votre enfant s’il connaît une façon mathématique d’écrire « et ». (Note : selon l’âge et le niveau d’expérience de votre enfant, vous pouvez tout simplement lui montrer que « et » peut s’écrire « + » dans ce cas-ci).  

    • Écrivez le signe « + » sous le mot « et ».

    • Demandez ce que vous pourriez écrire au lieu de « un tas de quatre jouets ». Écrivez 4 en-dessous.

    • Expliquez qu’on utilise « = » pour dire « est pareil à » et écrivez le signe en-dessous de cette locution.

    • Demandez ce que vous pourriez écrire au lieu de « un tas de sept jouets ». Écrivez 7.

    • Relisez l’équation que vous avez écrite. « 3 + 4 = 7 » pour « un tas de trois jouets et un tas de quatre jouets sont pareils à un tas de sept jouets ».

    • Regroupez vos deux tas en un seul gros tas.

    • Demandez à votre enfant de diviser son tas en deux tas. (ex. 2 + 5)

    • Dites la longue phrase « un tas de sept jouets est pareil à un tas de deux jouets et un tas de cinq jouets. »

    • Écrivez l’équation.  7 = 2 + 5

      • Note : assurez-vous d’écrire l’équation dans ce format. Les enfants qui voient l’équation écrite des deux façons auront une meilleure compréhension de la notion d’égalité.

    • Répétez cette activité, mais cette fois-ci, chacun d’entre vous divise ses tas. Par exemple : 1 + 6 = 4 + 3

Activité 4 :
    • Commencez à nouveau avec deux tas égaux.

    • Expliquez que vous allez diviser le vôtre en deux tas. Vous n’êtes pas autorisé à en ajouter ou à en enlever.

    • Demandez à votre enfant de fermer les yeux.

    • Pendant qu’il/elle a les yeux fermés, divisez votre tas en deux et recouvrez un tas.

    • Lorsque votre enfant ouvre les yeux, demandez-lui de vous dire combien de jouets vous avez recouverts.

      • Exemple : 3 + ??? = 7

Discuter de la réponse.

    • Demandez-lui de faire pareil pour vous.

      • Exemple : 7 = ??? + 1

Discuter de la réponse.

    • Répétez l’activité. Cette fois-ci, divisez les deux ensembles de tas, mais recouvrez un seul tas.

      • Exemple : 1 + 6 = ??? + 2

    • NOTE : Une des idées fausses les plus courantes chez les enfants est de croire que la réponse se trouve après le signe égal. Par conséquent, lorsqu’ils voient 1 + 6 = ___ + 2, en général ils diront que___ doit être 7.  Ensuite vient le + 2. La (mauvaise) réponse est donc 9. Cette activité aidera votre enfant à comprendre que le signe égal signifie que tout ce qui se trouve à gauche du signe doit être pareil à ce qui se trouve à droite.
Activité 5 :
    • Créez deux tas égaux de jouets.  

    • Ajoutez quelques jouets à votre tas. (Exemple : deux jouets)

    • Demandez à votre enfant « Que dois-tu faire pour que ton tas soit pareil à mon tas ? » Il devrait répondre « Ajouter deux jouets ». Faites-lui donc ajouter deux jouets à son tas pour que les deux tas soient à nouveau semblables.

    • À son tour, votre enfant ajoute quelques jouets à son tas. Exemple : trois jouets. Vous dites « Maintenant je dois ajouter trois jouets à mon tas pour qu’il soit pareil à ton tas ». Faites-le.

    • Cette fois-ci, retirez quelques jouets de votre tas. Demandez-lui de faire en sorte que son tas soit égal au vôtre.

    • Montrez-lui ce que ça donne mathématiquement.

      • Exemple : vous avez tous les deux commencé avec sept jouets, donc vous écrivez 7 = 7

      • Vous ajoutez deux jouets et votre enfant ajoute deux jouets : 7 + 2 = 7 + 2

      • À présent, vous avez 9 = 9

      • Votre enfant ajoute trois jouets des deux côtés, donc 9 + 3 = 9 + 3

      • À présent, vous avez 12 = 12

      • Vous retirez quatre jouets et votre enfant aussi 12 - 4 = 12 - 4

    • NOTE : cette activité aidera les élèves à développer le sens de la « préservation de l’égalité ». Si vous modifiez un côté, vous devez aussi modifier l’autre afin que les deux côtés restent égaux.

Progression

Voici comment le concept d’égalité change au fil des ans.Classe

  • En maternelle

    • une compréhension de l’égalité commence lorsque les élèves reconnaissent et nomment des agencements courants de un à cinq objets ou points (cela s’appelle subitizer)

    • les élèves comparent deux groupes d’objets (groupes de un à dix) en appariant les objets dans chaque groupe (la correspondance biunivoque). Cela permet aux élèves de dire quel groupe a plus d’objets ou moins d’objets ou encore si les deux groupes ont le même nombre d’objets.

  • En première année

    • Les élèves reconnaîtront, nommeront et écriront les nombres de 1 à 20 et seront aussi capables de dessiner des objets pour montrer le nombre (par exemple, pour le nombre 7 il faut dessiner sept objets), et s’ils ont des objets (comme des perles), les élèves montreront donc que le nombre 16 signifie qu’il y a 16 perles.

    • Les élèves continuent à comparer deux groupes d’objets et à présent, il peut y avoir 1 à 20 objets par groupe.

    • Les élèves décriront les groupes. Si chaque groupe a le même nombre d’objets, les groupes sont « équilibrés », si un groupe a plus d’objets ou moins d’objets, les groupes sont donc « déséquilibrés ».

    • Les élèves seront capables de regarder des groupes d’objets et d’écrire l’équation mathématique qui décrit les groupes. Par exemple, si vous avez un groupe de sept objets et un autre groupe avec un tas de trois objets et un tas de quatre objets, l’élève écrira : 7 = 3 + 4

    • Si vous modifiez les tas, par exemple, si vous aviez un premier groupe de sept objets et que vous modifiez les tas du second groupe (à présent un tas de deux et un tas de cinq), l’élève saura que les deux groupes sont toujours égaux (qu’ils ont le même nombre d’objets).

Idées fausses

À noter: le signe égal montre que deux groupes ont le même nombre d’objets.

La question : (se focalisant sur l’idée fausse) La question de suivi L’information à fournir

La réponse est toujours à droite du signe égal.

Ex. 3+5=?
?=3+5

Idée fausse : les élèves croient que cela est faux. Ils pensent que la réponse doit se trouver après le signe égal.

Puisque le signe égal montre que les deux groupes ont le même nombre d’objets, l’ordre dans lequel vous regardez les groupes n’a aucune importance.

3 + 5 = 8     montre la même relation que

8 = 3 + 5

Un signe égal signifie que la réponse se trouve après

Ex. 3+5 = ?
3+5=?+2

Idée fausse : les élèves répondent souvent comme suit 3 + 5 = 8 + 2

Les élèves voient le signe égal comme une opération plutôt que comme une relation.

Suggestion : utilisez la locution « est semblable à » et d’autres locutions plutôt que simplement « est égal à » lorsque vous faites référence au signe égal.

Vocabulaire

 

Destiné aux parents

Égalité

  • L’égalité est lorsque vous avez un nombre égal d’objets dans deux groupes.

  • Les élèves comparent le nombre d’objets dans deux groupes. Lorsque chaque groupe a le même nombre d’objets, vous avez une égalité.

Inégalité

  • L’inégalité est lorsque vous avez un nombre différent d’objets dans deux groupes.

  • Un groupe a plus ou moins d’objets que l’autre groupe.

Attribut

  • Les attributs sont des façons de décrire des objets, par exemple, selon :

    • la quantité (combien)

    • la couleur

    • la longueur

    • le poids

    • la forme

Conservation du nombre

La conservation du nombre, c'est lorsqu'un élève sait que le nombre reste pareil même s'il semble y avoir une différence.

Par exemple,

Conservation1représente la même quantité que


Conservation2

ou 3 + 2 est semblable à 2 + 3.

Symboliquement

  • Les élèves écrivent des propositions mathématiques symboliquement lorsqu’ils utilisent des chiffres et des symboles mathématiques (pas d’images et pas d’objets réels).

  • Par exemple : 13 + 8 = 21

Concrètement

On représente une situation ou on résout un problème concrètement en utilisant des objets réels (par exemple : jetons de bingo, perles, blocs, etc.).

À l’imagé

Faire des maths à l’imagé signifie utiliser des dessins ou des photos.

Équation

  • Une équation montre deux groupes qui sont égaux en nombre (même si à l’écrit ils semblent différents). Note : un groupe se trouve avant le signe égal et l’autre se trouve après le signe égal.

  • Exemples d’équations :

    • 4 + 7 = 11

    • 9 = 7 + 2

    • 2x + 3 = 13

    • 5 + 3 = ____ + 6

Variable

  • Une variable est quelque chose qui est inconnue ou quelque chose qui peut changer sa valeur. Les variables sont généralement représentées par des blancs soulignés, des cases vides ou des lettres.

  • Voici des exemples de variables en rose ci-dessous :

    • 2 + = 8

    • 5 + 3 = ____ + 6

    • 2x + 3 = 13

    • y = 3x - 5

Préservation de l’égalité

  • Si vous commencez avec deux groupes égaux, ces groupes resteront toujours égaux si vous faites l’une des actions suivantes :

    • ajouter la même quantité aux deux groupes

    • soustraire la même quantité aux deux groupes

    • multiplier chaque groupe par le même nombre

    • diviser chaque groupe par le même nombre

Autres sources d’information

Liens utiles pour les parents sur le site d’Alberta Education à

En français : https://education.alberta.ca/francais/teachers/progres/core/math/parents/links/

En anglais : http://education.alberta.ca/teachers/program/math/parents/links.aspx

Message 27 – Un message mathématique aux familles (Seeley, 2009) (anglais seulement)

http://mathsolutions.com/documents/9781935099031_message27.pdf

NCTM – Soutien aux familles – Aider vos élèves en math (anglais seulement)

http://www.nctm.org/News-and-Calendar/Messages-from-the-President/Archive/J_-Michael-Shaughnessy/Support-for-Parents-and-Families_-Helping-your-Math-Students/

NCTM - Algèbre – Faites-en une priorité pour les élèves ! (anglais seulement)

http://www.nctm.org/News-and-Calendar/Messages-from-the-President/Archive/Henry-(Hank)-Kepner,-Jr/Algebra%E2%80%94Connect-it-to-Students_-Priorities!/

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Last modified: Friday, 17 March 2017, 12:00 PM